3.70 \(\int \frac{(a+b \tan (e+f x))^3 (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x))}{c+d \tan (e+f x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=337 \[ -\frac{\log (\cos (e+f x)) \left (3 a^2 b (A c+B d-c C)+a^3 (B c-d (A-C))-3 a b^2 (B c-d (A-C))-b^3 (A c+B d-c C)\right )}{f \left (c^2+d^2\right )}+\frac{x \left (-3 a^2 b (B c-d (A-C))+a^3 (A c+B d-c C)-3 a b^2 (A c+B d-c C)+b^3 (B c-d (A-C))\right )}{c^2+d^2}-\frac{(b c-a d)^3 \left (A d^2-B c d+c^2 C\right ) \log (c+d \tan (e+f x))}{d^4 f \left (c^2+d^2\right )}+\frac{b \tan (e+f x) \left (b d^2 (a B+A b-b C)+(b c-a d) (-a C d-b B d+b c C)\right )}{d^3 f}-\frac{(-a C d-b B d+b c C) (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d^2 f}+\frac{C (a+b \tan (e+f x))^3}{3 d f} \]

[Out]

((a^3*(A*c - c*C + B*d) - 3*a*b^2*(A*c - c*C + B*d) - 3*a^2*b*(B*c - (A - C)*d) + b^3*(B*c - (A - C)*d))*x)/(c
^2 + d^2) - ((3*a^2*b*(A*c - c*C + B*d) - b^3*(A*c - c*C + B*d) + a^3*(B*c - (A - C)*d) - 3*a*b^2*(B*c - (A -
C)*d))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f) - ((b*c - a*d)^3*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d
^4*(c^2 + d^2)*f) + (b*(b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 + (b*c - a*d)*(b*c*C - b*B*d - a*C*d))*Tan[e + f*x])/(d^3*f) -
((b*c*C - b*B*d - a*C*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*d^2*f) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(3*d*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.58769, antiderivative size = 337, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 45, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.133, Rules used = {3647, 3637, 3626, 3617, 31, 3475} \[ -\frac{\log (\cos (e+f x)) \left (3 a^2 b (A c+B d-c C)+a^3 (B c-d (A-C))-3 a b^2 (B c-d (A-C))-b^3 (A c+B d-c C)\right )}{f \left (c^2+d^2\right )}+\frac{x \left (-3 a^2 b (B c-d (A-C))+a^3 (A c+B d-c C)-3 a b^2 (A c+B d-c C)+b^3 (B c-d (A-C))\right )}{c^2+d^2}-\frac{(b c-a d)^3 \left (A d^2-B c d+c^2 C\right ) \log (c+d \tan (e+f x))}{d^4 f \left (c^2+d^2\right )}+\frac{b \tan (e+f x) \left (b d^2 (a B+A b-b C)+(b c-a d) (-a C d-b B d+b c C)\right )}{d^3 f}-\frac{(-a C d-b B d+b c C) (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d^2 f}+\frac{C (a+b \tan (e+f x))^3}{3 d f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((a + b*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x]),x]

[Out]

((a^3*(A*c - c*C + B*d) - 3*a*b^2*(A*c - c*C + B*d) - 3*a^2*b*(B*c - (A - C)*d) + b^3*(B*c - (A - C)*d))*x)/(c
^2 + d^2) - ((3*a^2*b*(A*c - c*C + B*d) - b^3*(A*c - c*C + B*d) + a^3*(B*c - (A - C)*d) - 3*a*b^2*(B*c - (A -
C)*d))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)*f) - ((b*c - a*d)^3*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d
^4*(c^2 + d^2)*f) + (b*(b*(A*b + a*B - b*C)*d^2 + (b*c - a*d)*(b*c*C - b*B*d - a*C*d))*Tan[e + f*x])/(d^3*f) -
((b*c*C - b*B*d - a*C*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*d^2*f) + (C*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(3*d*f)

Rule 3647

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*
tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(C*(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d
*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(m + n + 1)), x] + Dist[1/(d*(m + n + 1)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*(c +
d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m + n + 1) - C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + d*(A*b + a*B - b*C)*(m + n + 1)*Tan[e + f
*x] - (C*m*(b*c - a*d) - b*B*d*(m + n + 1))*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}
, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !Intege
rQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

Rule 3637

Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)*tan[(e
_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(b*C*Tan[e + f*x]*(c + d*Tan[e + f*x])
^(n + 1))/(d*f*(n + 2)), x] - Dist[1/(d*(n + 2)), Int[(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[b*c*C - a*A*d*(n + 2) - (A*b
+ a*B - b*C)*d*(n + 2)*Tan[e + f*x] - (a*C*d*(n + 2) - b*(c*C - B*d*(n + 2)))*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; F
reeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !LtQ[n, -1]

Rule 3626

Int[((A_) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*
(x_)]), x_Symbol] :> Simp[((a*A + b*B - a*C)*x)/(a^2 + b^2), x] + (Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 + b^2), I
nt[(1 + Tan[e + f*x]^2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Dist[(A*b - a*B - b*C)/(a^2 + b^2), Int[Tan[e + f*x], x
], x]) /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[A*b - a
*B - b*C, 0]

Rule 3617

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Dist[
A/(b*f), Subst[Int[(a + x)^m, x], x, b*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] && EqQ[A, C]

Rule 31

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(-1), x_Symbol] :> Simp[Log[RemoveContent[a + b*x, x]]/b, x] /; FreeQ[{a, b}, x]

Rule 3475

Int[tan[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[Log[RemoveContent[Cos[c + d*x], x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(a+b \tan (e+f x))^3 \left (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)\right )}{c+d \tan (e+f x)} \, dx &=\frac{C (a+b \tan (e+f x))^3}{3 d f}+\frac{\int \frac{(a+b \tan (e+f x))^2 \left (-3 (b c C-a A d)+3 (A b+a B-b C) d \tan (e+f x)-3 (b c C-b B d-a C d) \tan ^2(e+f x)\right )}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{3 d}\\ &=-\frac{(b c C-b B d-a C d) (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d^2 f}+\frac{C (a+b \tan (e+f x))^3}{3 d f}+\frac{\int \frac{(a+b \tan (e+f x)) \left (-6 \left (2 a b c C d-a^2 A d^2-b^2 c (c C-B d)\right )+6 \left (a^2 B-b^2 B+2 a b (A-C)\right ) d^2 \tan (e+f x)+6 \left (b (A b+a B-b C) d^2+(b c-a d) (b c C-b B d-a C d)\right ) \tan ^2(e+f x)\right )}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{6 d^2}\\ &=\frac{b \left (b (A b+a B-b C) d^2+(b c-a d) (b c C-b B d-a C d)\right ) \tan (e+f x)}{d^3 f}-\frac{(b c C-b B d-a C d) (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d^2 f}+\frac{C (a+b \tan (e+f x))^3}{3 d f}-\frac{\int \frac{6 \left (3 a^2 b c C d^2-a^3 A d^3-3 a b^2 c d (c C-B d)+b^3 c \left (c^2 C-B c d+(A-C) d^2\right )\right )-6 \left (a^3 B-3 a b^2 B+3 a^2 b (A-C)-b^3 (A-C)\right ) d^3 \tan (e+f x)-6 \left (a^3 C d^3-3 a^2 b d^2 (c C-B d)+3 a b^2 d \left (c^2 C-B c d+(A-C) d^2\right )-b^3 \left (c^3 C-B c^2 d+c (A-C) d^2+B d^3\right )\right ) \tan ^2(e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{6 d^3}\\ &=\frac{\left (a^3 (A c-c C+B d)-3 a b^2 (A c-c C+B d)-3 a^2 b (B c-(A-C) d)+b^3 (B c-(A-C) d)\right ) x}{c^2+d^2}+\frac{b \left (b (A b+a B-b C) d^2+(b c-a d) (b c C-b B d-a C d)\right ) \tan (e+f x)}{d^3 f}-\frac{(b c C-b B d-a C d) (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d^2 f}+\frac{C (a+b \tan (e+f x))^3}{3 d f}-\frac{\left ((b c-a d)^3 \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )\right ) \int \frac{1+\tan ^2(e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{d^3 \left (c^2+d^2\right )}+\frac{\left (3 a^2 b (A c-c C+B d)-b^3 (A c-c C+B d)+a^3 (B c-(A-C) d)-3 a b^2 (B c-(A-C) d)\right ) \int \tan (e+f x) \, dx}{c^2+d^2}\\ &=\frac{\left (a^3 (A c-c C+B d)-3 a b^2 (A c-c C+B d)-3 a^2 b (B c-(A-C) d)+b^3 (B c-(A-C) d)\right ) x}{c^2+d^2}-\frac{\left (3 a^2 b (A c-c C+B d)-b^3 (A c-c C+B d)+a^3 (B c-(A-C) d)-3 a b^2 (B c-(A-C) d)\right ) \log (\cos (e+f x))}{\left (c^2+d^2\right ) f}+\frac{b \left (b (A b+a B-b C) d^2+(b c-a d) (b c C-b B d-a C d)\right ) \tan (e+f x)}{d^3 f}-\frac{(b c C-b B d-a C d) (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d^2 f}+\frac{C (a+b \tan (e+f x))^3}{3 d f}-\frac{\left ((b c-a d)^3 \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{c+x} \, dx,x,d \tan (e+f x)\right )}{d^4 \left (c^2+d^2\right ) f}\\ &=\frac{\left (a^3 (A c-c C+B d)-3 a b^2 (A c-c C+B d)-3 a^2 b (B c-(A-C) d)+b^3 (B c-(A-C) d)\right ) x}{c^2+d^2}-\frac{\left (3 a^2 b (A c-c C+B d)-b^3 (A c-c C+B d)+a^3 (B c-(A-C) d)-3 a b^2 (B c-(A-C) d)\right ) \log (\cos (e+f x))}{\left (c^2+d^2\right ) f}-\frac{(b c-a d)^3 \left (c^2 C-B c d+A d^2\right ) \log (c+d \tan (e+f x))}{d^4 \left (c^2+d^2\right ) f}+\frac{b \left (b (A b+a B-b C) d^2+(b c-a d) (b c C-b B d-a C d)\right ) \tan (e+f x)}{d^3 f}-\frac{(b c C-b B d-a C d) (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d^2 f}+\frac{C (a+b \tan (e+f x))^3}{3 d f}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 4.2852, size = 258, normalized size = 0.77 \[ \frac{6 b^2 d \tan (e+f x) (a B+A b-b C)+\frac{6 (a d-b c)^3 \left (A d^2-B c d+c^2 C\right ) \log (c+d \tan (e+f x))}{d^2 \left (c^2+d^2\right )}+\frac{3 d^2 (a-i b)^3 (i A+B-i C) \log (\tan (e+f x)+i)}{c-i d}+\frac{3 d^2 (a+i b)^3 (-i A+B+i C) \log (-\tan (e+f x)+i)}{c+i d}-3 (-a C d-b B d+b c C) (a+b \tan (e+f x))^2-\frac{6 b (b c-a d) \tan (e+f x) (a C d+b B d-b c C)}{d}+2 C d (a+b \tan (e+f x))^3}{6 d^2 f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[((a + b*Tan[e + f*x])^3*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x]),x]

[Out]

((3*(a + I*b)^3*((-I)*A + B + I*C)*d^2*Log[I - Tan[e + f*x]])/(c + I*d) + (3*(a - I*b)^3*(I*A + B - I*C)*d^2*L
og[I + Tan[e + f*x]])/(c - I*d) + (6*(-(b*c) + a*d)^3*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^2*(c
^2 + d^2)) + 6*b^2*(A*b + a*B - b*C)*d*Tan[e + f*x] - (6*b*(b*c - a*d)*(-(b*c*C) + b*B*d + a*C*d)*Tan[e + f*x]
)/d - 3*(b*c*C - b*B*d - a*C*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^2 + 2*C*d*(a + b*Tan[e + f*x])^3)/(6*d^2*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.054, size = 1304, normalized size = 3.9 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*tan(f*x+e))^3*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e)),x)

[Out]

1/f/(c^2+d^2)*B*arctan(tan(f*x+e))*a^3*d+1/f/(c^2+d^2)*B*arctan(tan(f*x+e))*b^3*c-1/f/(c^2+d^2)*C*arctan(tan(f
*x+e))*a^3*c+1/f/(c^2+d^2)*C*arctan(tan(f*x+e))*b^3*d+3/2/f*b^2/d*C*tan(f*x+e)^2*a-1/2/f*b^3/d^2*C*tan(f*x+e)^
2*c+3/f*b^2/d*B*a*tan(f*x+e)-1/f*b^3/d^2*B*c*tan(f*x+e)+3/f*b/d*a^2*C*tan(f*x+e)+1/f*b^3/d^3*C*c^2*tan(f*x+e)+
1/3/f*b^3/d*C*tan(f*x+e)^3+3/2/f/(c^2+d^2)*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*a^2*b*d-3/2/f/(c^2+d^2)*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*a
*b^2*c-3/2/f/(c^2+d^2)*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C*a^2*b*c-3/2/f/(c^2+d^2)*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C*a*b^2*d+3/f/(c^2+d^2)
*A*arctan(tan(f*x+e))*a^2*b*d-3/f/(c^2+d^2)*A*arctan(tan(f*x+e))*a*b^2*c-3/f/(c^2+d^2)*B*arctan(tan(f*x+e))*a^
2*b*c-3/f/(c^2+d^2)*B*arctan(tan(f*x+e))*a*b^2*d+1/f/d^3/(c^2+d^2)*ln(c+d*tan(f*x+e))*B*c^4*b^3+1/f/d/(c^2+d^2
)*ln(c+d*tan(f*x+e))*C*c^2*a^3-3/f/(c^2+d^2)*ln(c+d*tan(f*x+e))*A*a^2*c*b-1/f/d^4/(c^2+d^2)*ln(c+d*tan(f*x+e))
*C*c^5*b^3+3/f/d/(c^2+d^2)*ln(c+d*tan(f*x+e))*A*c^2*a*b^2-3/f/d^2/(c^2+d^2)*ln(c+d*tan(f*x+e))*B*c^3*a*b^2-3/f
/d^2/(c^2+d^2)*ln(c+d*tan(f*x+e))*C*c^3*a^2*b+3/f/d^3/(c^2+d^2)*ln(c+d*tan(f*x+e))*C*c^4*a*b^2+3/f/d/(c^2+d^2)
*ln(c+d*tan(f*x+e))*B*c^2*a^2*b+3/f/(c^2+d^2)*C*arctan(tan(f*x+e))*a*b^2*c-1/f/d^2/(c^2+d^2)*ln(c+d*tan(f*x+e)
)*A*c^3*b^3+3/2/f/(c^2+d^2)*ln(1+tan(f*x+e)^2)*A*a*b^2*d+1/2/f*b^3/d*B*tan(f*x+e)^2+1/f*b^3/d*A*tan(f*x+e)-1/f
*b^3/d*C*tan(f*x+e)-3/f*b^2/d^2*C*a*c*tan(f*x+e)+3/2/f/(c^2+d^2)*ln(1+tan(f*x+e)^2)*A*a^2*b*c-3/f/(c^2+d^2)*C*
arctan(tan(f*x+e))*a^2*b*d+1/f/(c^2+d^2)*A*arctan(tan(f*x+e))*a^3*c-1/f/(c^2+d^2)*A*arctan(tan(f*x+e))*b^3*d+1
/f*d/(c^2+d^2)*ln(c+d*tan(f*x+e))*A*a^3-1/f/(c^2+d^2)*ln(c+d*tan(f*x+e))*B*a^3*c-1/2/f/(c^2+d^2)*ln(1+tan(f*x+
e)^2)*A*a^3*d-1/2/f/(c^2+d^2)*ln(1+tan(f*x+e)^2)*A*b^3*c+1/2/f/(c^2+d^2)*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*a^3*c-1/2/f/(c^2
+d^2)*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*b^3*d+1/2/f/(c^2+d^2)*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a^3*C*d+1/2/f/(c^2+d^2)*ln(1+tan(f*x+e)^2)
*C*b^3*c

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.54641, size = 601, normalized size = 1.78 \begin{align*} \frac{\frac{6 \,{\left ({\left ({\left (A - C\right )} a^{3} - 3 \, B a^{2} b - 3 \,{\left (A - C\right )} a b^{2} + B b^{3}\right )} c +{\left (B a^{3} + 3 \,{\left (A - C\right )} a^{2} b - 3 \, B a b^{2} -{\left (A - C\right )} b^{3}\right )} d\right )}{\left (f x + e\right )}}{c^{2} + d^{2}} - \frac{6 \,{\left (C b^{3} c^{5} - A a^{3} d^{5} -{\left (3 \, C a b^{2} + B b^{3}\right )} c^{4} d +{\left (3 \, C a^{2} b + 3 \, B a b^{2} + A b^{3}\right )} c^{3} d^{2} -{\left (C a^{3} + 3 \, B a^{2} b + 3 \, A a b^{2}\right )} c^{2} d^{3} +{\left (B a^{3} + 3 \, A a^{2} b\right )} c d^{4}\right )} \log \left (d \tan \left (f x + e\right ) + c\right )}{c^{2} d^{4} + d^{6}} + \frac{3 \,{\left ({\left (B a^{3} + 3 \,{\left (A - C\right )} a^{2} b - 3 \, B a b^{2} -{\left (A - C\right )} b^{3}\right )} c -{\left ({\left (A - C\right )} a^{3} - 3 \, B a^{2} b - 3 \,{\left (A - C\right )} a b^{2} + B b^{3}\right )} d\right )} \log \left (\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1\right )}{c^{2} + d^{2}} + \frac{2 \, C b^{3} d^{2} \tan \left (f x + e\right )^{3} - 3 \,{\left (C b^{3} c d -{\left (3 \, C a b^{2} + B b^{3}\right )} d^{2}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{2} + 6 \,{\left (C b^{3} c^{2} -{\left (3 \, C a b^{2} + B b^{3}\right )} c d +{\left (3 \, C a^{2} b + 3 \, B a b^{2} +{\left (A - C\right )} b^{3}\right )} d^{2}\right )} \tan \left (f x + e\right )}{d^{3}}}{6 \, f} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))^3*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e)),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/6*(6*(((A - C)*a^3 - 3*B*a^2*b - 3*(A - C)*a*b^2 + B*b^3)*c + (B*a^3 + 3*(A - C)*a^2*b - 3*B*a*b^2 - (A - C)
*b^3)*d)*(f*x + e)/(c^2 + d^2) - 6*(C*b^3*c^5 - A*a^3*d^5 - (3*C*a*b^2 + B*b^3)*c^4*d + (3*C*a^2*b + 3*B*a*b^2
+ A*b^3)*c^3*d^2 - (C*a^3 + 3*B*a^2*b + 3*A*a*b^2)*c^2*d^3 + (B*a^3 + 3*A*a^2*b)*c*d^4)*log(d*tan(f*x + e) +
c)/(c^2*d^4 + d^6) + 3*((B*a^3 + 3*(A - C)*a^2*b - 3*B*a*b^2 - (A - C)*b^3)*c - ((A - C)*a^3 - 3*B*a^2*b - 3*(
A - C)*a*b^2 + B*b^3)*d)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(c^2 + d^2) + (2*C*b^3*d^2*tan(f*x + e)^3 - 3*(C*b^3*c*d - (3
*C*a*b^2 + B*b^3)*d^2)*tan(f*x + e)^2 + 6*(C*b^3*c^2 - (3*C*a*b^2 + B*b^3)*c*d + (3*C*a^2*b + 3*B*a*b^2 + (A -
C)*b^3)*d^2)*tan(f*x + e))/d^3)/f

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 5.58118, size = 1315, normalized size = 3.9 \begin{align*} \frac{2 \,{\left (C b^{3} c^{2} d^{3} + C b^{3} d^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{3} + 6 \,{\left ({\left ({\left (A - C\right )} a^{3} - 3 \, B a^{2} b - 3 \,{\left (A - C\right )} a b^{2} + B b^{3}\right )} c d^{4} +{\left (B a^{3} + 3 \,{\left (A - C\right )} a^{2} b - 3 \, B a b^{2} -{\left (A - C\right )} b^{3}\right )} d^{5}\right )} f x - 3 \,{\left (C b^{3} c^{3} d^{2} + C b^{3} c d^{4} -{\left (3 \, C a b^{2} + B b^{3}\right )} c^{2} d^{3} -{\left (3 \, C a b^{2} + B b^{3}\right )} d^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{2} - 3 \,{\left (C b^{3} c^{5} - A a^{3} d^{5} -{\left (3 \, C a b^{2} + B b^{3}\right )} c^{4} d +{\left (3 \, C a^{2} b + 3 \, B a b^{2} + A b^{3}\right )} c^{3} d^{2} -{\left (C a^{3} + 3 \, B a^{2} b + 3 \, A a b^{2}\right )} c^{2} d^{3} +{\left (B a^{3} + 3 \, A a^{2} b\right )} c d^{4}\right )} \log \left (\frac{d^{2} \tan \left (f x + e\right )^{2} + 2 \, c d \tan \left (f x + e\right ) + c^{2}}{\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1}\right ) + 3 \,{\left (C b^{3} c^{5} -{\left (3 \, C a b^{2} + B b^{3}\right )} c^{4} d +{\left (3 \, C a^{2} b + 3 \, B a b^{2} + A b^{3}\right )} c^{3} d^{2} -{\left (C a^{3} + 3 \, B a^{2} b + 3 \, A a b^{2}\right )} c^{2} d^{3} +{\left (3 \, C a^{2} b + 3 \, B a b^{2} +{\left (A - C\right )} b^{3}\right )} c d^{4} -{\left (C a^{3} + 3 \, B a^{2} b + 3 \,{\left (A - C\right )} a b^{2} - B b^{3}\right )} d^{5}\right )} \log \left (\frac{1}{\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1}\right ) + 6 \,{\left (C b^{3} c^{4} d -{\left (3 \, C a b^{2} + B b^{3}\right )} c^{3} d^{2} +{\left (3 \, C a^{2} b + 3 \, B a b^{2} + A b^{3}\right )} c^{2} d^{3} -{\left (3 \, C a b^{2} + B b^{3}\right )} c d^{4} +{\left (3 \, C a^{2} b + 3 \, B a b^{2} +{\left (A - C\right )} b^{3}\right )} d^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )}{6 \,{\left (c^{2} d^{4} + d^{6}\right )} f} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))^3*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/6*(2*(C*b^3*c^2*d^3 + C*b^3*d^5)*tan(f*x + e)^3 + 6*(((A - C)*a^3 - 3*B*a^2*b - 3*(A - C)*a*b^2 + B*b^3)*c*d
^4 + (B*a^3 + 3*(A - C)*a^2*b - 3*B*a*b^2 - (A - C)*b^3)*d^5)*f*x - 3*(C*b^3*c^3*d^2 + C*b^3*c*d^4 - (3*C*a*b^
2 + B*b^3)*c^2*d^3 - (3*C*a*b^2 + B*b^3)*d^5)*tan(f*x + e)^2 - 3*(C*b^3*c^5 - A*a^3*d^5 - (3*C*a*b^2 + B*b^3)*
c^4*d + (3*C*a^2*b + 3*B*a*b^2 + A*b^3)*c^3*d^2 - (C*a^3 + 3*B*a^2*b + 3*A*a*b^2)*c^2*d^3 + (B*a^3 + 3*A*a^2*b
)*c*d^4)*log((d^2*tan(f*x + e)^2 + 2*c*d*tan(f*x + e) + c^2)/(tan(f*x + e)^2 + 1)) + 3*(C*b^3*c^5 - (3*C*a*b^2
+ B*b^3)*c^4*d + (3*C*a^2*b + 3*B*a*b^2 + A*b^3)*c^3*d^2 - (C*a^3 + 3*B*a^2*b + 3*A*a*b^2)*c^2*d^3 + (3*C*a^2
*b + 3*B*a*b^2 + (A - C)*b^3)*c*d^4 - (C*a^3 + 3*B*a^2*b + 3*(A - C)*a*b^2 - B*b^3)*d^5)*log(1/(tan(f*x + e)^2
+ 1)) + 6*(C*b^3*c^4*d - (3*C*a*b^2 + B*b^3)*c^3*d^2 + (3*C*a^2*b + 3*B*a*b^2 + A*b^3)*c^2*d^3 - (3*C*a*b^2 +
B*b^3)*c*d^4 + (3*C*a^2*b + 3*B*a*b^2 + (A - C)*b^3)*d^5)*tan(f*x + e))/((c^2*d^4 + d^6)*f)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 46.6404, size = 7096, normalized size = 21.06 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))**3*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)**2)/(c+d*tan(f*x+e)),x)

[Out]

Piecewise((zoo*x*(a + b*tan(e))**3*(A + B*tan(e) + C*tan(e)**2)/tan(e), Eq(c, 0) & Eq(d, 0) & Eq(f, 0)), (-3*I
*A*a**3*f*x*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 3*A*a**3*f*x/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 3*I*
A*a**3/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*A*a**2*b*f*x*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*I*A*a
**2*b*f*x/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*A*a**2*b/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*I*A*a*b**2*f*x*tan(
e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*A*a*b**2*f*x/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*A*a*b**2*log(tan
(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*I*A*a*b**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(-6*d*f
*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*I*A*a*b**2/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*A*b**3*f*x*tan(e + f*x)/(-6*d*f*ta
n(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*I*A*b**3*f*x/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 3*I*A*b**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*t
an(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 3*A*b**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f
) - 6*A*b**3*tan(e + f*x)**2/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*A*b**3/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 3*B*
a**3*f*x*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 3*I*B*a**3*f*x/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 3*B*a
**3/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*I*B*a**2*b*f*x*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*B*a**2
*b*f*x/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*B*a**2*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x)
+ 6*I*d*f) + 9*I*B*a**2*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*I*B*a**2*b/(-6*d*f*tan
(e + f*x) + 6*I*d*f) + 27*B*a*b**2*f*x*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 27*I*B*a*b**2*f*x/(-6*d*
f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*I*B*a*b**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f)
- 9*B*a*b**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 18*B*a*b**2*tan(e + f*x)**2/(-6*d*f*t
an(e + f*x) + 6*I*d*f) - 27*B*a*b**2/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*I*B*b**3*f*x*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan
(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*B*b**3*f*x/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 6*B*b**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e
+ f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 6*I*B*b**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) -
3*B*b**3*tan(e + f*x)**3/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 3*I*B*b**3*tan(e + f*x)**2/(-6*d*f*tan(e + f*x) +
6*I*d*f) - 9*I*B*b**3/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 3*I*C*a**3*f*x*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I
*d*f) - 3*C*a**3*f*x/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 3*C*a**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(-6*d*f*
tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 3*I*C*a**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 3*I*C*a**3/(-6
*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 27*C*a**2*b*f*x*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 27*I*C*a**2*b*f*
x/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*I*C*a**2*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) +
6*I*d*f) - 9*C*a**2*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 18*C*a**2*b*tan(e + f*x)**2/(
-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 27*C*a**2*b/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 27*I*C*a*b**2*f*x*tan(e + f*x)/
(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 27*C*a*b**2*f*x/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 18*C*a*b**2*log(tan(e + f*
x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 18*I*C*a*b**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(-6*d*f*tan(e
+ f*x) + 6*I*d*f) - 9*C*a*b**2*tan(e + f*x)**3/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*I*C*a*b**2*tan(e + f*x)**2
/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 27*I*C*a*b**2/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 15*C*b**3*f*x*tan(e + f*x)/
(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 15*I*C*b**3*f*x/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 6*I*C*b**3*log(tan(e + f*x
)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 6*C*b**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(-6*d*f*tan(e + f*x
) + 6*I*d*f) - 2*C*b**3*tan(e + f*x)**4/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - I*C*b**3*tan(e + f*x)**3/(-6*d*f*tan
(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*C*b**3*tan(e + f*x)**2/(-6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 15*C*b**3/(-6*d*f*tan(e + f*
x) + 6*I*d*f), Eq(c, -I*d)), (-3*I*A*a**3*f*x*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 3*A*a**3*f*x/(6*d*
f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 3*I*A*a**3/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*A*a**2*b*f*x*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan
(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*I*A*a**2*b*f*x/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*A*a**2*b/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*
d*f) - 9*I*A*a*b**2*f*x*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*A*a*b**2*f*x/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I
*d*f) + 9*A*a*b**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*I*A*a*b**2*log(tan
(e + f*x)**2 + 1)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*I*A*a*b**2/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*A*b**3*f*x*
tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*I*A*b**3*f*x/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 3*I*A*b**3*log(t
an(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 3*A*b**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*d*f*tan
(e + f*x) + 6*I*d*f) + 6*A*b**3*tan(e + f*x)**2/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*A*b**3/(6*d*f*tan(e + f*x)
+ 6*I*d*f) + 3*B*a**3*f*x*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 3*I*B*a**3*f*x/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6
*I*d*f) - 3*B*a**3/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*I*B*a**2*b*f*x*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*
f) + 9*B*a**2*b*f*x/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*B*a**2*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(6*d*f*t
an(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*I*B*a**2*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*I*B*a**2*b/(
6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 27*B*a*b**2*f*x*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 27*I*B*a*b**2*f*
x/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*I*B*a*b**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*
I*d*f) + 9*B*a*b**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 18*B*a*b**2*tan(e + f*x)**2/(6*d
*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 27*B*a*b**2/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9*I*B*b**3*f*x*tan(e + f*x)/(6*d*f*t
an(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*B*b**3*f*x/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 6*B*b**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e
+ f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 6*I*B*b**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) +
3*B*b**3*tan(e + f*x)**3/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 3*I*B*b**3*tan(e + f*x)**2/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I
*d*f) - 9*I*B*b**3/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 3*I*C*a**3*f*x*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f)
+ 3*C*a**3*f*x/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 3*C*a**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e +
f*x) + 6*I*d*f) + 3*I*C*a**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 3*I*C*a**3/(6*d*f*tan(
e + f*x) + 6*I*d*f) - 27*C*a**2*b*f*x*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 27*I*C*a**2*b*f*x/(6*d*f*t
an(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*I*C*a**2*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 9
*C*a**2*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 18*C*a**2*b*tan(e + f*x)**2/(6*d*f*tan(e +
f*x) + 6*I*d*f) + 27*C*a**2*b/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 27*I*C*a*b**2*f*x*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e +
f*x) + 6*I*d*f) - 27*C*a*b**2*f*x/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 18*C*a*b**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e
+ f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 18*I*C*a*b**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f)
+ 9*C*a*b**2*tan(e + f*x)**3/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*I*C*a*b**2*tan(e + f*x)**2/(6*d*f*tan(e + f*x)
+ 6*I*d*f) - 27*I*C*a*b**2/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 15*C*b**3*f*x*tan(e + f*x)/(6*d*f*tan(e + f*x) +
6*I*d*f) + 15*I*C*b**3*f*x/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 6*I*C*b**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(
6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 6*C*b**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) + 2*C*b**3*ta
n(e + f*x)**4/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - I*C*b**3*tan(e + f*x)**3/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 9*C*b
**3*tan(e + f*x)**2/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f) - 15*C*b**3/(6*d*f*tan(e + f*x) + 6*I*d*f), Eq(c, I*d)), ((
A*a**3*x + 3*A*a**2*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) - 3*A*a*b**2*x + 3*A*a*b**2*tan(e + f*x)/f - A*b**3*log(t
an(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) + A*b**3*tan(e + f*x)**2/(2*f) + B*a**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) - 3*B*a**2*b*
x + 3*B*a**2*b*tan(e + f*x)/f - 3*B*a*b**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) + 3*B*a*b**2*tan(e + f*x)**2/(2*f) +
B*b**3*x + B*b**3*tan(e + f*x)**3/(3*f) - B*b**3*tan(e + f*x)/f - C*a**3*x + C*a**3*tan(e + f*x)/f - 3*C*a**2
*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) + 3*C*a**2*b*tan(e + f*x)**2/(2*f) + 3*C*a*b**2*x + C*a*b**2*tan(e + f*x)**3
/f - 3*C*a*b**2*tan(e + f*x)/f + C*b**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) + C*b**3*tan(e + f*x)**4/(4*f) - C*b**3
*tan(e + f*x)**2/(2*f))/c, Eq(d, 0)), (x*(a + b*tan(e))**3*(A + B*tan(e) + C*tan(e)**2)/(c + d*tan(e)), Eq(f,
0)), (6*A*a**3*c*d**4*f*x/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 6*A*a**3*d**5*log(c/d + tan(e + f*x))/(6*c**2*d**4*f +
6*d**6*f) - 3*A*a**3*d**5*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 18*A*a**2*b*c*d**4*log(c/d + t
an(e + f*x))/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 9*A*a**2*b*c*d**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f
) + 18*A*a**2*b*d**5*f*x/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 18*A*a*b**2*c**2*d**3*log(c/d + tan(e + f*x))/(6*c**2*d*
*4*f + 6*d**6*f) - 18*A*a*b**2*c*d**4*f*x/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 9*A*a*b**2*d**5*log(tan(e + f*x)**2 + 1
)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 6*A*b**3*c**3*d**2*log(c/d + tan(e + f*x))/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 6*A*b**
3*c**2*d**3*tan(e + f*x)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 3*A*b**3*c*d**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*c**2*d**4*f
+ 6*d**6*f) - 6*A*b**3*d**5*f*x/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 6*A*b**3*d**5*tan(e + f*x)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**
6*f) - 6*B*a**3*c*d**4*log(c/d + tan(e + f*x))/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 3*B*a**3*c*d**4*log(tan(e + f*x)**
2 + 1)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 6*B*a**3*d**5*f*x/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 18*B*a**2*b*c**2*d**3*log(c
/d + tan(e + f*x))/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 18*B*a**2*b*c*d**4*f*x/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 9*B*a**2*b
*d**5*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 18*B*a*b**2*c**3*d**2*log(c/d + tan(e + f*x))/(6*c
**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 18*B*a*b**2*c**2*d**3*tan(e + f*x)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 9*B*a*b**2*c*d**4*log
(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 18*B*a*b**2*d**5*f*x/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 18*B*a*b*
*2*d**5*tan(e + f*x)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 6*B*b**3*c**4*d*log(c/d + tan(e + f*x))/(6*c**2*d**4*f + 6*d
**6*f) - 6*B*b**3*c**3*d**2*tan(e + f*x)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 3*B*b**3*c**2*d**3*tan(e + f*x)**2/(6*c*
*2*d**4*f + 6*d**6*f) + 6*B*b**3*c*d**4*f*x/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 6*B*b**3*c*d**4*tan(e + f*x)/(6*c**2*
d**4*f + 6*d**6*f) - 3*B*b**3*d**5*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 3*B*b**3*d**5*tan(e +
f*x)**2/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 6*C*a**3*c**2*d**3*log(c/d + tan(e + f*x))/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) -
6*C*a**3*c*d**4*f*x/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 3*C*a**3*d**5*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**
6*f) - 18*C*a**2*b*c**3*d**2*log(c/d + tan(e + f*x))/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 18*C*a**2*b*c**2*d**3*tan(e
+ f*x)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 9*C*a**2*b*c*d**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 18
*C*a**2*b*d**5*f*x/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 18*C*a**2*b*d**5*tan(e + f*x)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 18*
C*a*b**2*c**4*d*log(c/d + tan(e + f*x))/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 18*C*a*b**2*c**3*d**2*tan(e + f*x)/(6*c**
2*d**4*f + 6*d**6*f) + 9*C*a*b**2*c**2*d**3*tan(e + f*x)**2/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 18*C*a*b**2*c*d**4*f*
x/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 18*C*a*b**2*c*d**4*tan(e + f*x)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 9*C*a*b**2*d**5*lo
g(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 9*C*a*b**2*d**5*tan(e + f*x)**2/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f)
- 6*C*b**3*c**5*log(c/d + tan(e + f*x))/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 6*C*b**3*c**4*d*tan(e + f*x)/(6*c**2*d**
4*f + 6*d**6*f) - 3*C*b**3*c**3*d**2*tan(e + f*x)**2/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 2*C*b**3*c**2*d**3*tan(e + f
*x)**3/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 3*C*b**3*c*d**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 3*C*
b**3*c*d**4*tan(e + f*x)**2/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 6*C*b**3*d**5*f*x/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) + 2*C*b*
*3*d**5*tan(e + f*x)**3/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f) - 6*C*b**3*d**5*tan(e + f*x)/(6*c**2*d**4*f + 6*d**6*f), Tr
ue))

________________________________________________________________________________________

Giac [A]  time = 2.42818, size = 774, normalized size = 2.3 \begin{align*} \frac{\frac{6 \,{\left (A a^{3} c - C a^{3} c - 3 \, B a^{2} b c - 3 \, A a b^{2} c + 3 \, C a b^{2} c + B b^{3} c + B a^{3} d + 3 \, A a^{2} b d - 3 \, C a^{2} b d - 3 \, B a b^{2} d - A b^{3} d + C b^{3} d\right )}{\left (f x + e\right )}}{c^{2} + d^{2}} + \frac{3 \,{\left (B a^{3} c + 3 \, A a^{2} b c - 3 \, C a^{2} b c - 3 \, B a b^{2} c - A b^{3} c + C b^{3} c - A a^{3} d + C a^{3} d + 3 \, B a^{2} b d + 3 \, A a b^{2} d - 3 \, C a b^{2} d - B b^{3} d\right )} \log \left (\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1\right )}{c^{2} + d^{2}} - \frac{6 \,{\left (C b^{3} c^{5} - 3 \, C a b^{2} c^{4} d - B b^{3} c^{4} d + 3 \, C a^{2} b c^{3} d^{2} + 3 \, B a b^{2} c^{3} d^{2} + A b^{3} c^{3} d^{2} - C a^{3} c^{2} d^{3} - 3 \, B a^{2} b c^{2} d^{3} - 3 \, A a b^{2} c^{2} d^{3} + B a^{3} c d^{4} + 3 \, A a^{2} b c d^{4} - A a^{3} d^{5}\right )} \log \left ({\left | d \tan \left (f x + e\right ) + c \right |}\right )}{c^{2} d^{4} + d^{6}} + \frac{2 \, C b^{3} d^{2} \tan \left (f x + e\right )^{3} - 3 \, C b^{3} c d \tan \left (f x + e\right )^{2} + 9 \, C a b^{2} d^{2} \tan \left (f x + e\right )^{2} + 3 \, B b^{3} d^{2} \tan \left (f x + e\right )^{2} + 6 \, C b^{3} c^{2} \tan \left (f x + e\right ) - 18 \, C a b^{2} c d \tan \left (f x + e\right ) - 6 \, B b^{3} c d \tan \left (f x + e\right ) + 18 \, C a^{2} b d^{2} \tan \left (f x + e\right ) + 18 \, B a b^{2} d^{2} \tan \left (f x + e\right ) + 6 \, A b^{3} d^{2} \tan \left (f x + e\right ) - 6 \, C b^{3} d^{2} \tan \left (f x + e\right )}{d^{3}}}{6 \, f} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))^3*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e)),x, algorithm="giac")

[Out]

1/6*(6*(A*a^3*c - C*a^3*c - 3*B*a^2*b*c - 3*A*a*b^2*c + 3*C*a*b^2*c + B*b^3*c + B*a^3*d + 3*A*a^2*b*d - 3*C*a^
2*b*d - 3*B*a*b^2*d - A*b^3*d + C*b^3*d)*(f*x + e)/(c^2 + d^2) + 3*(B*a^3*c + 3*A*a^2*b*c - 3*C*a^2*b*c - 3*B*
a*b^2*c - A*b^3*c + C*b^3*c - A*a^3*d + C*a^3*d + 3*B*a^2*b*d + 3*A*a*b^2*d - 3*C*a*b^2*d - B*b^3*d)*log(tan(f
*x + e)^2 + 1)/(c^2 + d^2) - 6*(C*b^3*c^5 - 3*C*a*b^2*c^4*d - B*b^3*c^4*d + 3*C*a^2*b*c^3*d^2 + 3*B*a*b^2*c^3*
d^2 + A*b^3*c^3*d^2 - C*a^3*c^2*d^3 - 3*B*a^2*b*c^2*d^3 - 3*A*a*b^2*c^2*d^3 + B*a^3*c*d^4 + 3*A*a^2*b*c*d^4 -
A*a^3*d^5)*log(abs(d*tan(f*x + e) + c))/(c^2*d^4 + d^6) + (2*C*b^3*d^2*tan(f*x + e)^3 - 3*C*b^3*c*d*tan(f*x +
e)^2 + 9*C*a*b^2*d^2*tan(f*x + e)^2 + 3*B*b^3*d^2*tan(f*x + e)^2 + 6*C*b^3*c^2*tan(f*x + e) - 18*C*a*b^2*c*d*t
an(f*x + e) - 6*B*b^3*c*d*tan(f*x + e) + 18*C*a^2*b*d^2*tan(f*x + e) + 18*B*a*b^2*d^2*tan(f*x + e) + 6*A*b^3*d
^2*tan(f*x + e) - 6*C*b^3*d^2*tan(f*x + e))/d^3)/f